Category: животные

NeoТолстовец

Апории Зенона (логические парадоксы) и математика

Оказывается, ещё нет единого мнения о парадоксальных апориях Зенона:

Ахиллес и черепаха. Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.


Дихотомия. Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся.


Летящая стрела. Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.


По-моему же, они могут быть разрешены математически — и именно математически, поскольку в этих апориях используются чисто математические идеальные понятия (точка, момент, бесконечность), не существующие в реальности. Эти понятия можно лишь мыслить, но не увидеть, не измерить, не осуществить.

Я бы предложил такие решения:

1) Ахиллес легко догонит и обгонит черепаху, ибо даже сумма бесконечного ряда цифр имеет предел (конечное значение).

Бесконечный ряд 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01... имеет предел, и этот предел вычисляется как предел геометрической прогрессии с знаменателем 0,1 по формуле b/(1–q): 100/(1–0,1)=1111/9. А раз конечна длина пути S, то конечно и время, необходимое для его преодоления со скоростью v: t=S/v.

Можно рассуждать иначе: любое расстояние между Ахиллесом и черепахой Ахиллес покрывает в 10 раз быстрее черепахи, а значит, сколько бы не прошла черепаха, Ахиллес пройдёт это в 10 раз быстрее, т.е. ему понадобится лишь 10 % времени, необходимого черепахе. Остальные 90 % времени — это и есть тот запас, за который он и догонит, и перегонит черепаху.

2) Чтобы преодолеть путь S требуется время t (скорость постоянна). Чтобы преодолеть половину пути (S/2) требуется время t/2. Чтобы преодолеть половину этой половины ((S/2)/2=S/4) требуется время t/4. И так далее до бесконечности: чтобы преодолеть бесконечно малую частицу пути нужно бесконечно малое количество времени.

Хоть этих промежутков времени и бесконечное число, но они бесконечно малы! Поэтому их сумма не даст бесконечности, как намекает Зенон. Эти промежутки времин почти нулевые, почти не занимают времени.

На каждую часть пути нужно своё время. Если путь складывается из бесконечного числа бесконечно малых частиц, то и время для преодоления пути складывается из бесконечного числа бесконечно малых промежутков времени.

Опять же есть предел (конечное значение) суммы этого бесконечного ряда промежутков пространства или времени: предел для пространства равен S, предел для времени равен t.

3) Летящая стрела не неподвижна, ибо её бы не называли летящей, если бы она была неподвижна )

Что такое "момент времени", о котором говорит Зенон? Это опять какой-то бесконечно малый промежуток времени? Но ведь промежуток! То есть имеющий и начало, и конец, а значит и длительность! Да время вообще и есть длительность, протяжённость!

А если это не промежуток времени, то что это? Если "точку пространства", не имеющую размеров, ещё можно помыслить, т.к. точкой мы оперируем в геометрии, то "момент времени", не имеющий длительности, уже невозможно и мыслить.

Даже фотоаппарат не схватывает "момент времени", т.к. имеет выдержку, совсем не равную нулю (доли секунды). Даже вспышка молнии имеет длительность.

В каждой точке своего пути стрела находится бесконечно малое время, а это уже никак нельзя назвать покоем. Покой — это состояние, когда тело находится на своём месте секунду, две и всё последующее время.

Вообще, вопрос "каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний" легко снимается, если заметить, что каждое состояние длится бесконечно малое время. Пусть этих состояний бесконечно много, но ведь и время пребывания в них бесконечно мало, а произведение бесконечно большого числа на бесконечно малое как раз и даст конечное число.

К апории "Медимн зерна" (а также схожим парадоксам "Лысый" и "Куча") тоже приложима математика:

Каждое отдельное зерно падает на землю бесшумно. Тогда отчего медимн (большой мешок) зерна падает с шумом?


Если зайти с обратного конца (начать с мешка зерна, волосатой головы, кучи), то удаление одного зерна (волоска, зерна из кучи) — это удаление каждый раз всё большей доли от целого: количество зёрен в мешке (волос на голове, зёрен в куче) уменьшается, а значит, одно зерно (один волосок) составляет всё больший процент от мешка (кучи, шевелюры). А потому удаление одного элемента всё более уничтожает первоначальное качество — и наконец уничтожает его полностью: голову уже нельзя признать волосатой, совокупность зёрен — нельзя признать кучей, а падение мешка перестаёт сопровождаться шумом.